KaTeX 数学公式完整教程

介绍

KaTeX 是一个快速、易用的 JavaScript 库，用于在 Web 上渲染数学公式。它使用类似 LaTeX 的语法，支持广泛的数学符号、函数和环境。本教程将详细介绍 KaTeX 支持的所有数学公式语法，帮助您掌握在 MDX 文件中编写数学公式的技巧。

在 MDX 中使用数学公式

在本博客系统中，KaTeX 已经通过 remark-math 和 rehype-katex 插件集成，您可以直接在 MDX 文件中使用数学公式。

行内公式与块级公式

KaTeX 支持两种公式显示方式：

行内公式：使用单个美元符号 $...$，公式会与文本在同一行显示。

例如：这是一个行内公式 $E = mc^2$，它表示质能方程。

块级公式：使用双美元符号 $$...$$，公式会单独显示在一行，居中显示。

例如：

$$E = mc^2$$

基本语法规则

1. 命令格式：KaTeX 命令以反斜杠 \ 开头，例如 \alpha、\sum、\frac 等
2. 参数：某些命令需要参数，使用花括号 {} 包裹，例如 \frac{a}{b}
3. 分组：使用花括号 {} 对表达式进行分组，例如 x^{2+3} 会渲染为 $x^{2+3}$
4. 转义：特殊字符需要使用反斜杠转义，例如 \$ 表示美元符号本身

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第一部分：希腊字母

希腊字母在数学中广泛使用，KaTeX 支持所有标准希腊字母的大小写形式以及一些变体。

小写希腊字母

使用示例：

$$\alpha + \beta = \gamma, \quad \theta = \frac{\pi}{2}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

大写希腊字母

使用示例：

$$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, \quad \Delta f = f(x+h) - f(x)$$

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第二部分：运算符

运算符是数学表达式中用于表示运算的符号。KaTeX 支持多种类型的运算符。

二元运算符

二元运算符用于连接两个操作数。

使用示例：

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}, \quad A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$

关系运算符

关系运算符用于表示两个量之间的关系。

使用示例：

$$x \leq y, \quad a \approx b, \quad f(x) \sim g(x) \text{ 当 } x \to \infty$$

大型运算符

大型运算符用于表示求和、积分、乘积等运算。

使用示例：

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \prod_{i=1}^{n} i = n!, \quad \int_0^{\infty} e^{-x} dx = 1$$

limits 和 nolimits：

默认情况下，在块级公式中，大型运算符的上下限会显示在符号的上方和下方；在行内公式中，会显示在右侧。可以使用 \limits 和 \nolimits 强制控制：

• \sum\limits_{i=1}^n：强制上下限在上下方
• \sum\nolimits_{i=1}^n：强制上下限在右侧

$$\sum\nolimits_{i=1}^n x_i \quad \text{vs} \quad \sum\limits_{i=1}^n x_i$$

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第三部分：数学函数

KaTeX 支持各种数学函数，包括三角函数、对数函数等。

\operatorname 命令

\operatorname 命令用于定义自定义的数学函数名。当某些函数在 KaTeX 中没有内置命令时，可以使用 \operatorname 来定义：

语法：\operatorname{函数名}

使用示例：

$$\operatorname{arccot}(x), \quad \operatorname{sech}(x), \quad \operatorname{lcm}(a, b)$$

注意：\operatorname 会自动处理函数名的格式（正体、适当的间距等），比直接使用 \text 更合适。

三角函数

使用示例：

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1, \quad \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

反三角函数

注意：\arccot、\arcsec、\arccsc 在 KaTeX 中不是内置命令，需要使用 \operatorname{arccot}、\operatorname{arcsec}、\operatorname{arccsc} 来定义。

使用示例：

$$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}, \quad \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

双曲函数

注意：\sech 和 \csch 在 KaTeX 中不是内置命令，需要使用 \operatorname{sech} 和 \operatorname{csch} 来定义。

使用示例：

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

对数函数

使用示例：

$$\ln(e) = 1, \quad \log(10) = 1, \quad \exp(x) = e^x$$

其他函数

注意：\lcm 在 KaTeX 中不是内置命令，需要使用 \operatorname{lcm} 来定义。

使用示例：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, \quad \max\{1, 2, 3\} = 3, \quad \det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$$

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第四部分：分数和根式

分数和根式是数学表达式中常见的结构。

分数

KaTeX 提供了多种分数命令，用于不同的显示场景。

使用示例：

行内公式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$

块级公式：

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$$

嵌套分数：

$$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$$

连续分数：

$$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}$$

根式

使用示例：

$$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt[3]{8} = 2, \quad \sqrt{x^2 + y^2}$$

嵌套根式：

$$\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}}}}$$

样式控制

可以使用 \displaystyle 和 \textstyle 控制表达式的显示样式：

• \displaystyle：强制使用显示样式（较大）
• \textstyle：强制使用文本样式（较小）

使用示例：

$$\textstyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \quad \text{vs} \quad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$$

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第五部分：上下标和极限

上下标是数学表达式中表示幂次、索引等的重要方式。

上标

使用 ^ 符号创建上标：

基本用法：

• x^2 渲染为 $x^2$
• x^{n+1} 渲染为 $x^{n+1}$（注意使用花括号）

使用示例：

$$x^2, \quad x^{n+1}, \quad e^{i\pi} + 1 = 0$$

下标

使用 _ 符号创建下标：

基本用法：

• x_i 渲染为 $x_i$
• x_{i+1} 渲染为 $x_{i+1}$（注意使用花括号）

使用示例：

$$x_1, x_2, \ldots, x_n, \quad a_{i,j}$$

组合使用

可以同时使用上标和下标：

基本用法：

• x_i^2 渲染为 $x_i^2$
• x^{n+1}_{i-1} 渲染为 $x^{n+1}_{i-1}$

使用示例：

$$x_i^2, \quad a_{i,j}^{k+1}, \quad \sum_{i=1}^n x_i^2$$

极限

极限使用 \lim 命令，配合下标使用：

基本用法：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$ $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

使用 \limits 控制位置：

$$\lim\nolimits_{x \to 0} f(x) \quad \text{vs} \quad \lim\limits_{x \to 0} f(x)$$

其他极限相关命令：

$$\liminf_{n \to \infty} a_n, \quad \limsup_{n \to \infty} a_n$$

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第六部分：矩阵环境

矩阵环境用于表示矩阵、向量等结构。

基本矩阵环境

KaTeX 提供了多种矩阵环境，每种环境使用不同的分隔符来包围矩阵元素。这些环境可以用于表示矩阵、向量、行列式等数学结构。

下面列出了所有可用的矩阵环境及其特点：

语法说明：

• & 用于分隔列
• \\ 用于换行
• 环境必须用 \begin{环境名} 和 \end{环境名} 包裹

下面是一些实际使用示例，展示了如何在不同场景中使用这些矩阵环境：

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$ $$\det\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$ $$\begin{vmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{vmatrix} = 0$$

小矩阵（行内使用）：

矩阵 $\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}$ 可以行内显示。

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第七部分：对齐环境

对齐环境用于排列多行公式，使等号或其他符号对齐。

align 环境

align 环境用于对齐多行公式，使用 & 指定对齐位置：

$$\begin{align} x &= a + b \\ y &= c + d \\ z &= e + f \end{align}$$

语法说明：

• & 放在要对齐的符号（通常是等号）前面
• \\ 用于换行
• align* 不显示行号

使用示例：

$$\begin{align*} f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\ &= (x+1)^2 \\ g(x) &= \sin(x) + \cos(x) \end{align*}$$

alignat 环境

alignat 环境允许更精确的对齐控制，需要指定列数：

$$\begin{alignat}{2} 10x + 3y &= 2 &\quad& \text{方程 1} \\ 3x + 13y &= 4 &\quad& \text{方程 2} \end{alignat}$$

语法说明：

• alignat{n} 中的 n 表示列数
• 每列之间用 & 分隔
• alignat* 不显示行号

aligned 和 alignedat 环境

aligned 和 alignedat 环境可以在其他环境中使用：

$$\left\{ \begin{aligned} x + y &= 1 \\ x - y &= 0 \end{aligned} \right.$$

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第八部分：条件环境

条件环境用于表示分段函数、条件表达式等。

cases 环境

cases 环境用于表示分段函数：

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{如果 } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{如果 } x < 0 \end{cases}$$

语法说明：

• 每个条件用 \\ 分隔
• & 用于分隔条件和表达式
• 使用 \text{} 添加文本说明

使用示例：

$$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } x > 0 \\ 0 & \text{如果 } x = 0 \\ -1 & \text{如果 } x < 0 \end{cases}$$

dcases 环境

dcases 环境与 cases 类似，但使用显示样式（分数等会更大）：

$$f(x) = \begin{dcases} \frac{1}{x} & \text{如果 } x \neq 0 \\ 0 & \text{如果 } x = 0 \end{dcases}$$

rcases 和 drcases 环境

rcases 和 drcases 环境将大括号放在右侧：

$$\begin{rcases} x + y = 1 \\ x - y = 0 \end{rcases} \Rightarrow x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$$

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第九部分：数组和其他环境

array 环境

array 环境用于创建数组，可以指定列对齐方式：

$$\begin{array}{c|c|c} a & b & c \\ \hline d & e & f \\ g & h & i \end{array}$$

语法说明：

• {c|c|c} 指定列对齐方式：c（居中）、l（左对齐）、r（右对齐）
• | 表示列分隔线
• \hline 表示水平线

使用示例：

$$\begin{array}{rcl} x + y &=& 1 \\ x - y &=& 0 \end{array}$$

equation 环境

equation 环境用于单个带编号的公式：

$$\begin{equation} E = mc^2 \end{equation}$$

equation* 环境不显示编号：

$$\begin{equation*} E = mc^2 \end{equation*}$$

gather 环境

gather 环境用于居中显示多行公式（不对齐）：

$$\begin{gather} x + y = 1 \\ x - y = 0 \\ x \cdot y = 0 \end{gather}$$

gather* 不显示行号。

split 环境

split 环境用于将一个长公式分成多行：

$$\begin{split} (x+y)^2 &= (x+y)(x+y) \\ &= x^2 + xy + yx + y^2 \\ &= x^2 + 2xy + y^2 \end{split}$$

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第十部分：分隔符

分隔符用于包裹和分组表达式，KaTeX 支持多种分隔符。

基本分隔符

| 命令 | 左分隔符 | 右分隔符 | 示例 | | ---------------------------- | --------- | --------- | -------------------------------------- | ---- | ------ | ----------------- | --- | | \left( \right) | $($ | $)$ | $\left(\frac{a}{b}\right)$ | | \left[ \right] | $[$ | $]$ | $\left[\frac{a}{b}\right]$ | | \left\{ \right\} | $\{$ | $\}$ | $\left\{\frac{a}{b}\right\}$ | | \left\langle \right\rangle | $\langle$ | $\rangle$ | $\left\langle\frac{a}{b}\right\rangle$ | | \left\| \right\| | $\|$ | $\|$ | $\left\|\frac{a}{b}\right\|$ | | \left | \right | | $\|$ | $\|$ | $\left | \frac{a}{b}\right |$ | | \left\lfloor \right\rfloor | $\lfloor$ | $\rfloor$ | $\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor$ | | \left\lceil \right\rceil | $\lceil$ | $\rceil$ | $\left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil$ |

注意：地板函数 \lfloor、\rfloor 和天花板函数 \lceil、\rceil 的符号在表格中正确显示。如果看到方括号，请检查是否正确使用了 \left\lfloor 和 \right\rfloor 命令。

使用示例：

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2, \quad \left[\frac{a}{b}\right], \quad \left\{\frac{a}{b}\right\}$$ $$\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor, \quad \left\lceil\frac{x}{2}\right\rceil$$

\left 和 \right 的使用

\left 和 \right 命令使分隔符自动调整大小以匹配内容：

不使用 \left 和 \right：

$$(\frac{a}{b})^2$$

使用 \left 和 \right：

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2$$

注意事项：

• \left 和 \right 必须成对出现
• 如果只需要一侧的分隔符，可以使用 \left. 或 \right.（点表示空分隔符）

示例：

$$\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=0}$$

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第十一部分：重音符号

重音符号用于在字符上方或下方添加标记。

基本重音

使用示例：

$$\hat{x}, \quad \bar{x}, \quad \vec{v}, \quad \dot{x}, \quad \ddot{x}$$

宽重音

宽重音可以覆盖多个字符：

使用示例：

$$\widehat{ABC}, \quad \widetilde{xyz}$$

上下划线

使用示例：

$$\overline{x+y}, \quad \underline{AB}$$

上下括号

使用示例：

$$\overbrace{1+2+\cdots+n}^{n \text{ 项}} = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\underbrace{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}_{n \text{ 个}}$$

箭头重音

使用示例：

$$\overrightarrow{AB}, \quad \overleftrightarrow{AB}$$

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第十二部分：箭头符号

箭头符号用于表示方向、映射、逻辑蕴含等。

基本箭头

使用示例：

$$f: A \rightarrow B, \quad x \leftarrow y, \quad A \leftrightarrow B$$

双箭头

使用示例：

$$P \Rightarrow Q, \quad A \Leftrightarrow B$$

其他箭头

使用示例：

$$f: x \mapsto x^2, \quad \lim_{x \to 0} f(x), \quad A \Longrightarrow B$$

可扩展箭头

可扩展箭头可以根据内容自动调整长度：

使用示例：

$$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$$ $$A \xleftarrow{\text{逆映射}} B$$

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第十三部分：集合符号

集合符号用于表示集合论中的各种概念。

成员关系

使用示例：

$$x \in \mathbb{R}, \quad 2 \notin \{1, 3, 5\}, \quad A \ni a$$

子集关系

使用示例：

$$A \subseteq B, \quad \{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}$$

集合运算

使用示例：

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$ $$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$$ $$A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$$

特殊集合

使用示例：

$$\emptyset \subset A, \quad x \in \mathbb{R}, \quad z \in \mathbb{C}$$

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第十四部分：逻辑符号

逻辑符号用于表示逻辑运算和关系。

逻辑运算符

使用示例：

$$(P \land Q) \implies R, \quad P \iff \lnot(\lnot P)$$

量词

使用示例：

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$$ $$\exists! x \in \mathbb{R}: x^2 = 0$$

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第十五部分：特殊符号

常用特殊符号

使用示例：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla \cdot \vec{F}$$ $$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

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第十六部分：文本和样式

在数学公式中，有时需要插入文本或改变样式。

文本命令

使用示例：

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{如果 } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{如果 } x < 0 \end{cases}$$

数学字体

使用示例：

$$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{N}$$ $$\mathcal{L}, \mathcal{F}, \mathcal{A}$$

颜色

使用示例：

$$\color{red}{x^2} + \color{blue}{y^2} = \color{green}{r^2}$$

支持的颜色包括：red, blue, green, yellow, orange, purple, black, white 等，也可以使用 RGB 值。

大小

使用示例：

$$\Huge x, \Large x, \normalsize x, \small x, \tiny x$$

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第十七部分：间距命令

间距命令用于控制数学表达式中的空白。

水平间距

使用示例：

$$\int_a^b f(x) \, dx, \quad \sum_{i=1}^n x_i, \quad \frac{d}{dx} \!$$

垂直间距

注意事项：垂直间距主要在块级公式中使用，行内公式中效果不明显。

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第十八部分：省略号

省略号用于表示省略的内容。

省略号类型

使用示例：

$$1, 2, 3, \ldots, n$$ $$x_1 + x_2 + \cdots + x_n$$ $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

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第十九部分：二项式系数

二项式系数用于表示组合数。

二项式系数命令

使用示例：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

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第三部分：快速参考表

按字母顺序的命令索引

常用符号速查表

关系运算符：\leq, \geq, \neq, \approx, \equiv, \sim, \propto

集合运算符：\in, \notin, \subset, \subseteq, \cup, \cap, \setminus

逻辑运算符：\land, \lor, \lnot, \implies, \iff

箭头：\leftarrow, \rightarrow, \leftrightarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \mapsto, \to

大型运算符：\sum, \prod, \int, \iint, \iiint, \oint

函数：\sin, \cos, \tan, \ln, \log, \exp, \lim, \max, \min

环境速查表

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第四部分：常见错误与解决方案

错误 1：忘记使用花括号分组

错误示例：

正确示例：

说明：上标和下标只作用于紧邻的字符，多个字符需要使用花括号分组。

错误 2：\left 和 \right 不匹配

错误示例：

正确示例：

说明：\left 和 \right 必须成对出现。如果只需要一侧，使用 \left. 或 \right.。

错误 3：在行内公式中使用块级环境

错误示例：

正确示例：

或者使用块级公式：

说明：某些环境（如 pmatrix）在行内可能显示过大，应使用 smallmatrix 或改为块级公式。

错误 4：忘记转义特殊字符

错误示例：

正确示例：

说明：在数学公式中，某些字符有特殊含义，需要使用反斜杠转义。

错误 5：分数中参数顺序错误

错误示例：

说明：\frac{分子}{分母}，注意顺序。

错误 6：矩阵中列分隔符使用错误

错误示例：

正确示例：

说明：矩阵中使用 & 分隔列，\\ 分隔行。

错误 7：对齐环境中 & 的位置错误

错误示例：

正确示例：

说明：& 应放在要对齐的符号（通常是等号）前面。

错误 8：使用不支持的 LaTeX 命令

错误示例：

说明：KaTeX 不支持某些 LaTeX 命令，如 \newcommand、\newenvironment 等。需要使用 KaTeX 支持的命令。

错误 9：嵌套过深导致渲染问题

错误示例：

说明：虽然 KaTeX 支持嵌套，但过深的嵌套可能影响可读性和渲染效果。

错误 10：在文本模式中使用数学命令

错误示例：

正确示例：

或者：

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第五部分：最佳实践

1. 代码组织建议

使用有意义的变量名：

虽然数学公式中的变量通常是单字母，但在复杂公式中，使用下标和上标来区分不同的变量：

$$x_1, x_2, \ldots, x_n, \quad a_{i,j}, \quad f^{(n)}(x)$$

适当分组：

使用花括号明确分组，提高代码可读性：

2. 性能优化

避免过度嵌套：

虽然 KaTeX 支持深层嵌套，但过度嵌套会影响渲染性能：

合理使用块级和行内公式：

• 简单表达式使用行内公式：$x^2 + y^2 = r^2$
• 复杂表达式使用块级公式：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

3. 可读性提升

使用对齐环境整理多行公式：

添加适当的间距：

使用文本说明：

4. 维护性建议

保持一致性：

在整个文档中使用一致的符号约定：

• 使用 \mathbb{R} 表示实数集，而不是 R
• 使用 \cdot 表示点乘，而不是 *
• 使用 \times 表示叉乘或乘法

添加注释：

在复杂的公式旁边添加说明：

模块化复杂公式：

将复杂公式分解为多个部分：

5. 实际应用示例

以下是一些在实际数学写作中常用的公式示例，展示了如何组合使用各种 KaTeX 命令。这些示例涵盖了线性代数、微积分、概率论和物理学等多个数学领域，帮助您理解如何在实际写作中应用 KaTeX 语法。

示例 1：线性代数

矩阵乘法是线性代数中的基本运算。以下示例展示了矩阵与向量的乘法，这是线性方程组求解的基础：

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

示例 2：微积分

微积分中的基本定理展示了导数与积分之间的关系：

$$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t) \, dt\right) = f(x)$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$$

示例 3：概率论

概率论中的基本公式包括集合运算和期望值：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$E[X] = \sum_{i=1}^n x_i P(x_i)$$

示例 4：物理学

物理学中的经典公式包括力学和波动方程：

$$F = ma, \quad E = mc^2, \quad \nabla \times \vec{F} = 0$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$

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第六部分：综合示例

示例 1：完整的数学证明

这个示例展示了如何使用 KaTeX 编写一个完整的数学证明过程。我们将以勾股定理的证明为例，展示如何组织证明步骤和公式。

勾股定理的证明：

设直角三角形的两条直角边分别为 $a$ 和 $b$，斜边为 $c$。我们可以通过几何方法证明这个定理。

根据面积关系，我们可以建立以下等式：

$$\begin{align} (a+b)^2 &= 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 \\ a^2 + 2ab + b^2 &= 2ab + c^2 \\ a^2 + b^2 &= c^2 \end{align}$$

因此，$a^2 + b^2 = c^2$。

示例 2：矩阵运算

矩阵运算是线性代数的基础。这个示例展示了如何使用 KaTeX 表示矩阵运算，包括矩阵乘法和转置运算。

以下示例展示了矩阵乘法的定义和性质：

矩阵乘法的定义：

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{jk})_{n \times p}$，则 $C = AB$ 的元素为：

$$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$$

矩阵转置的性质：

$$(AB)^T = B^T A^T$$

示例 3：级数展开

级数展开是数学分析中的重要内容。这个示例展示了如何使用 KaTeX 表示泰勒级数和麦克劳林级数，这些级数在函数近似和数值计算中非常有用。

泰勒级数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

麦克劳林级数（$a=0$ 的特殊情况）：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

示例 4：微分方程

微分方程是描述物理和工程系统的重要工具。这个示例展示了如何使用 KaTeX 表示微分方程及其解，包括一阶线性微分方程的通解形式。

一阶线性微分方程：

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

通解：

$$y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)$$

示例 5：统计学

统计学中的概率分布和统计量是数据分析的基础。这个示例展示了如何使用 KaTeX 表示概率分布函数和统计定理，包括正态分布和中心极限定理。

正态分布的概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

中心极限定理：

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，则：

$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。

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总结

本教程全面介绍了 KaTeX 支持的所有数学公式语法，包括：

1. 基础语法：行内公式和块级公式的使用
2. 符号系统：希腊字母、运算符、特殊符号等
3. 函数和环境：数学函数、矩阵环境、对齐环境等
4. 样式控制：文本、字体、颜色、大小等
5. 实用技巧：常见错误、最佳实践、综合示例

通过本教程，您应该能够：

• 掌握 KaTeX 的基本语法
• 了解所有支持的符号和函数
• 避免常见错误
• 编写清晰、美观的数学公式
• 在实际项目中应用这些知识

进一步学习资源：

• KaTeX 官方文档
• KaTeX 支持表
• LaTeX 数学符号参考

祝您使用 KaTeX 编写出优美的数学公式！